Besaran Vektor

BAB I

PENDAHULUAN

A.   Latar Belakang

Pada pertemuan pertama kita telah membahas mengenai besaran yang terbagi atas dua yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Besaran pokok merupakan besaran ang satuannya telah dinyatakan dalam standar international(SI). Besaran turunan merupakan besaran yang satuannya diturunkan oleh besaran besaran pokok. Selain kedua besaran tersebut, terdapat lagi dua besaran yaitu besaran scalar dan besaran vector. Besaran scalar merupakan besaran yang hanya memeiliki nilai dan besaran vector merupakan besaran yang memiliki nilai dan arah. Pada makalah ini akan dibahas mengenai besaran vector yang penjelasannya sesuai dengan rumusan masalah.

B.   Rumusan Masalah

1.    Bagaimana menyatakan suatu vector?

2.    Bagaimana menjumlahkan sebuah vector atau lebih?

3.    Bagaimana menentukan vector resultan?

4.    Bagaimana menghitung perkalian antara duah buah vector?

C.   Tujuan

1.    Menyatakan suatu vector

2.    Menjumlahkan sebuah vector  atau lebih

3.    Menentukan vector resultan

4.    Menghitung perkalian antara dua buah vector

BAB II

PEMBAHASAN

A.   Menyatakan Suatu Vector

Dalam menyatakan suatu vector kita perlu menulis lambing besaran vector dan menyatakannya dengan sebuah anak panah. Untuk tulisan tangan, lambang suatu vector biasanya dituliskan dengan satu huruf besar dan diatas huruf diberi tanda anak panah, misalnya . Untuk buku cetakan, lambang vector umumnya dicetak dengan huruf besar dan dicetak tebal misalnya A. Besar vector dapat dinyatakn sebagai berikut

Apabila pada tulisan tangan  besar suatu vector biasanya ditulis dengan menggunakan tanda harga mutlak, misalnya . Dan pada buku cetak, besar vector umunya dicetak dengan huruf mirik, misalnya A. Sebuah vector digambarkan dengan sebuah anak panah yang terdiri dari pangkal dan ujung. Panjang anak panah menyatakan besar vector dan arah anak panah menyatakan  arah vector. Contoh

                                          S              

                                                                                   

                                    A                                

            R

R merupakan pangkal vector dan S merupakn ujung vector

B.   Menjumlahkan dua vector atau lebih

1.    Menjumlahkan vector secara geometris

Menjumlahkan vector secara geometris dapat dilakukan dengan dua macam metode yaitu metode jajarangenjang dan metode polygon.

a.    Menjumlah vector dengan metode jajarangenjang

Menjumlah dua vector  dan  dengan metode jajarangenjang dilakukan dengan menggambar vector  dan  pada satu titik tangakap, kemudian dibuat sebuah garis pertolongan sehingga dua vector dan garis pertolongan tadi berbentuk jajarangenjang. Selanjutnya kita menghubungkan titik tangkap vector ke pojok garis pertolongan tersebut. Vector yang diperoleh dari titik tangakap kedua vector ke pojok tadi adalah vector hasil penjumlahannya (Gambar 2.1).

 

                                                            b

            a

Hasil penjumlahan a+b adalah

                    …………….

                                                           

 

b.    Menjumlahkan vector secara polygon

Metode ini dapat digunakan untuk menjumlahkan vector yang lebih dari dua.  Cara melukis vector dengan metode polygon dapat melalui tahap-tahap sebagai berikut,

1.    Lukislah vector a

2.    Lukislah vector b dengan titik tangkap di ujung vector a

3.    Lukislah vector c dengan titik tangkap di ujung vector b

4.    Lukislah garis penghubung antara titik tangkap kesemua vector

R = a + b + c

 

                                          b

 

a                                        c

                       

2.    Menjumlah vector secara analitis

Metode analitis merupakan suatu cara penentuan vector resultan secara lebih tepat dengan melakukan perhitungan matematis. Metode analitis dalam menentukan besar dan arah vector resultan ada dua, yaitu metode dengan menggunakan rumus kosinus dan metode dengan menggunakan vector komponen.

1.    Menentukan vector resultan dengan menggunakan rumus kosinus

Lihat pada gambar 2.2, dengan menggunakan rumus kosinus dalam

OC² = OA^{2 +} AC²- 2OA AC cos(180⁰-α)

         = OA²+ AC² -2OA AC (-cos α)

         =OA² AC² – 2OA AC cos α

                           ……………….

            V₂

 

V₁

Oleh karena itu, OC = R, OA = V₁, dan AC = V₂ maka persamaan tersebut menjadi

R² = v₁² + v ₂² + 2v₁v₂ cos α

Atau

Dengan 0⁰⁰ disebut sudut apit, yaitu sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua vector.

Contoh Soal

Dua buah vector gaya F₁ dan F₂ masing-masing besarnya F memiliki titik pangkal yang berimpit. Jika resultan kedua vector gaya tersebut sama dengan F, tentukanlah sudut apit kedua vector gaya tersebut

Jawab

Diketahui : besar vector F₁ = F₂ = F = R

Dari persamaan di atas diperoleh

R =

2.    Menentukan arah vector resultan dengan rumus sinus

Sebuah vector harus dinyatakan dengan besar dan arah. Besar vector resultan , yaitu R, telah dapat kita tentukan dengan menggunakan persamaan kosinus. Untuk menentukan arah resultan vector terhadap salah satu vector penyusunnya, dapat digunakan persamaan sinus. Pada gambar 2.3 jika sudut antara vector V₁ dan vector V₂ adalah sudut antara vector resultan R dan V₂ adalah (), dengan hubungan sebagai berikut

 =  =                                                                     

C.   Perkalian Vektor

            Ada dua jenis perkalian vector yaitu perkalian titik dan perkalian silang.

1.    Perkalian Titik

perkalian titik dua vector merupakan perkalian scalar dari vector tersebut karena hasil kali titik dari dua vector menghasilkan sebuah besaran scalar. hasil perkalian titik dari vector A dan vector B adalah sebuah besaran scalar yang baru, misalnya C.

                                    C = A . B

Pada gambar 2.3 sudut antara kedua vector A dan B  adalah α. Adapun B cos α,adalah proyeksi vector B pada vector A, sedangkan A cos α adalah proyeksi vector A pada vector B. Oleh karena itu A .B  dapat disebut hasil kali antara vector A dan vector B   pada A, yaitu B cos α, atau sebagai hasil kali antara vector B dan komponen A pada B yaitu A cos α maka A (B cos α ) = (A cos α ) B, yaitu sesuai dengan sifat perkalian scalar antara dua vector

Besarnya hasil perkalian titik antara vector A dan vector B dituliskan sebagaiberikut

 A . B = C = AB cos α

Jika α = 0      

Jika α = 90^{0        0} = 0, C = 0

                   B

A cos α                                              

Contoh

Tentukan panjang vector dari hasil perkalian A . B. jika diketahui vector A = ( 3i + 2j + 4k ) satuan dan vector B = ( 2i – 4j + 5k ) satuan

Jawab

A.B = ( 3i + 2j + 4k ) ( 2i – 4j + 5k )

       = 6i² – 8j² + 20k²

=²

         =  = 10  satuan

2.    Perkalian Silang

perkalian silang dari dua vector akan menghasilkan sebuah vector baru sehingga dari dua vector disebut juga sebagai perkalian vector.

Hasil perkalian silang vector A dan vector B  menghasilkan vector C. vector C yang dihasilkan ini selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vector A dan vector B . jadi vector C akan selalu tegak lurus dengan vector A dan juga tegak lurus  dengan vector B

                                     C = A x B

Arah vector C adalah mengikuti aturan putaran sekrup. Jika A di putar kea rah  B, hasil kali vektornya adalah C ke arah atas dan demikian sebaliknya perbadaannya hanya nilai C bernilai negative. Jadi arah perkalian vector antara dua vector A x B tidak sama dengan B x A sehingga perkalian keduanya pun tidak sama. Panjang atau nilai vector C yang di hasilkan memenuhi persamaan berikut

 = AB sin α dengan  sudut yang dibentuk oleh kedua vector

Contoh soal

Tentukan hasil perkalian silang vector berikut ini

V₁ = i + 2j – 3k dan V₂ = 2i - 3j + 4k

Jawab

V = V₁ x V₂

V =( i + 2j – 3k )( 2i - 3j + 4k)

                 = - i – 10j – 7k

            = ² =  =5  satuan

BAB III

PENUTUP

A.   Kesimpulan

1.    Besaran vector adalah besaran yang memiliki niali dan arah dan besaran scalar adalah besran yang hanya memiliki nilai saja.

2.  Hasil penjumlahan ataupun hasil pengurangan dari beberapa vector disebut resultan vector. Ada tiga cara mencari resultan yaitu dengan jajarangenjang, segitiga dan polygon.

DAFTAR PUSTAKA

Kamajaya.2007. Cerdas Belajar Fisika. Bandung:Grafindo

Kanginan,Marten.2004. Fisika.Jakarta:Erlangga